2017-2018学年北京市门头沟区八年级上期末数学试卷(含答案解析)

发布时间:2021-08-05 23:55:45

2017-2018 学年北京市门头沟区八年级(上)期末数学试卷

一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)第 1-8 题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.

1.如果二次根式 有意义,那么 x 的取值范围是( )

A.x≥3

B.x≥0

C.x>3

D.x≠3

2.在下列实数中,无理数是( )

A.

B.

C.0

D.9

3.9 的*方根是( )

A.3

B.±3

C.

D.81

4.下列事件中,属于不确定事件的是( )

A.科学实验,前 100 次实验都失败了,第 101 次实验会成功

B.投掷一枚骰子,朝上面出现的点数是 7 点

C.太阳从西边升起来了

D.用长度分别是 3cm,4cm,5cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形

5.小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从中任抽一颗.袋子里有三种颜色的糖果,

它们的大小、形状、质量等都相同.如果袋中所有糖果数量统计如图所示,那么小明抽到红

色糖果的可能性为( )

A.

B.

C.

D.

6.甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称的是( )

A.

B.

C.

D.

7.如果将分式 中的字母 x 与 y 的值分别扩大为原来的 10 倍,那么这个分式的值( )

A.扩大为原来的 10 倍

B.扩大为原来的 20 倍

C.缩小为原来的

D.不改变

8.如果实数 a= ,且 a 在数轴上对应点的位置如图所示,其中正确的是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)9、的相反数是.

9.2 的相反数是



10.已知分式 的值为 0,那么 x 的值为



11.如果实数 a 在数轴上的位置如图所示,那么

+

=



12.2017 年 11 月 5 日 19 时 45 分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,以“一箭

双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星.这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星,

是我国北斗三号第一、二

颗组网卫星,开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代.

如图所示,在发射运载火箭时,运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形,这样做的原因

是:



13.如图,Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合,

折痕为 MN,则线段 BN 的长为



14.关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数 a,b

的值:a=

,b=



15.学*了等腰三角形的相关内容后,张老师请同学们交流这样一个问题:“如果一个等腰三角

形的两边长分别为 2 和 5,求它的周长”.同学们经过片刻的思考和交流后,小明同学举手讲

“它的周长是 9 或 12”,你认为小明的回答是否正确:

,你的理由是



16.学*了“分式的加法”的相关知识后,小明同学画出了如图:请问他画的图中①为



②为



三、解答题(本题共 45 分,每小题 5 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算: ﹣ +| ﹣2|.

18.解方程:x2+4x﹣1=0.

19.已知 a﹣3b=0,求

?(a+b)的值.

20.解方程: ﹣ =1. 21.阅读材料,并回答问题: 小明在学*分式运算过程中,计算 ﹣ 的解答过程如下:

解: ﹣ ①

=





=(x﹣2)﹣(x+2)③

=x﹣2﹣x﹣2



=﹣4



问题:(1)上述计算过程中,从

步开始出现了错误(填序号);

(2)发生错误的原因是:



(3)在下面的空白处,写出正确的解答过程:

22.已知:如图,∠BAC=∠DAC.请添加一个条件

,使得△ABC≌△ADC,然后再加以证

明.

23.已知:如图,△ABC 是等边三角形,E 是 AC 上一点,D 是 BC 延长线上一点,连接 BE 和 DE, 如果∠ABE=40°,BE=DE.求∠CED 的度数.

24.如图,电信部门要在公路 m 和公路 n 之间的区域内修建一座电视信号发射塔 P.按照设计 要求,发射塔 P 到地点 A 和地点 B 的距离相等,到两条公路 m 和公路 n 的距离也相等.

(1)在所给的图中,作出发射塔 P 所处的位置(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);

(2)简单说明作图的依据. 25.列方程解应用题: 为了缓解北京市西部地区的交通拥堵现象,市政府决定修建本市的第一条磁浮地铁线路﹣﹣“S1
线”.该线路连接北京城区与门头沟,西起石门营,向东经苹果园,终点至慈寿寺与 6 号线和 10 号线相接.为使该工程提前 4 个月完成,在保证质量的前提下,必须把工作效率提高 10%.问 原计划完成这项工程需用多少个月.

四、解答题(本题共 23 分,第 26 题 7 分,第 27、28 题,每小题 7 分)解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

26.已知关于 x 的一元二次方程 mx2﹣3(m+1)x+2m+3=0

(1)如果该方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,当该方程的根都是整数,且|x|<4 时,求 m 的整数值.

27.阅读材料: 我们定义:如果一个数的*方等于﹣1,记作 i2=﹣1,那么这个 i 就叫做虚数单位.虚数与我们

学过的实数合在一起叫做复数.一个复数可以表示为 a+bi(a,b 均为实数)的形式,其中 a

叫做它的实部,b 叫做它的虚部.

复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似.

例如 计算:(5+i)+(3﹣4i)=(5+3)+(i﹣4i)=8﹣3i.

根据上述材料,解决下列问题:

(1)填空:i3=

,i4=



(2)计算:(2+i)2;

(3)将 化为 a+bi(a,b 均为实数)的形式(即化为分母中不含 i 的形式).

28.已知:在△ABC 中,∠CAB=90°,AB=AC. (1)如图 1,P,Q 是 BC 边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB 的度数; (2)点 P,Q 是 BC 边上两动点(不与 B,C 重合),点 P 在点 Q 左侧,且 AP=AQ,点 Q 关于直
线 AC 的对称点为 M,连接 AM,PM.

①依题意将图 2 补全; ②小明通过观察和实验,提出猜想:在点 P,Q 运动的过程中,始终有 PM= PA.他把这个猜
想与同学们进行交流,通过讨论,形成以下证明猜想的思路: (Ⅰ)要想证明 PM= PA,只需证△APM 为等腰直角三角形; (Ⅱ)要想证明△APM 为等腰直角三角形,只需证∠PAM=90°,PA=AM; … 请参考上面的思路,帮助小明证明 PM= PA.

2017-2018 学年北京市门头沟区八年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)第 1-8 题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.

1.如果二次根式 有意义,那么 x 的取值范围是( )

A.x≥3

B.x≥0

C.x>3

D.x≠3

【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案.

【解答】解:二次根式 有意义,

则 x 的取值范围是:x≥3.

故选:A.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握定义是解题关键.

2.在下列实数中,无理数是( )

A.

B.

C.0

D.9

【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可.

【解答】解:A、 是分数,所以是有理数,故本选项错误;

B、 是开方开不尽的数,是无理数,故本选项正确;

C、0 是整数,是有理数,故本选项错误;

D、9 是整数,是有理数,故本选项错误.

故选:B.

【点评】本题考查的是无理数的定义,初中范围内学*的无理数有:π,2π 等;开方开不尽的数;

以及像 0.1010010001…,等有这样规律的数.

3.9 的*方根是( )

A.3

B.±3

C.

D.81

【分析】根据*方与开*方互为逆运算,可得一个正数的*方根.

【解答】解:± =±3,

故选:B.

【点评】本题考查了*方根,根据*方求出*方根,注意一个正数的*方跟有两个.

4.下列事件中,属于不确定事件的是( )

A.科学实验,前 100 次实验都失败了,第 101 次实验会成功

B.投掷一枚骰子,朝上面出现的点数是 7 点 C.太阳从西边升起来了 D.用长度分别是 3cm,4cm,5cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可. 【解答】解:A、是随机事件,故 A 符合题意; B、是不可能事件,故 B 不符合题意; C、是不可能事件,故 C 不符合题意; D、是必然事件,故 D 不符合题意; 故选:A. 【点评】本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概 念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发 生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 5.小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从中任抽一颗.袋子里有三种颜色的糖果, 它们的大小、形状、质量等都相同.如果袋中所有糖果数量统计如图所示,那么小明抽到红 色糖果的可能性为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】先利用条形统计图得到绿色糖果的个数为 2,红色糖果的个数为 5,紫色糖果的个数为 8,然后根据概率公式求解.
【解答】解:根据统计图得绿色糖果的个数为 2,红色糖果的个数为 5,紫色糖果的个数为 8,

所以小明抽到红色糖果的概率=



故选:D. 【点评】本题考查了概率公式:随机事件 A 的概率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数除以所有
可能出现的结果数.也考查了条形统计图. 6.甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项错误; B、是轴对称图形,故本选项错误; C、是轴对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,故本选项正确. 故选:D. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后
可重合.

7.如果将分式 中的字母 x 与 y 的值分别扩大为原来的 10 倍,那么这个分式的值( )

A.扩大为原来的 10 倍

B.扩大为原来的 20 倍

C.缩小为原来的

D.不改变

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.

【解答】解:原式=

=

故选:D. 【点评】本题考查分式的基本性质,解题的关键是熟练运用分式的基本性质,本题属于基础题
型. 8.如果实数 a= ,且 a 在数轴上对应点的位置如图所示,其中正确的是( )

A.

B.

C.

D. 【分析】根据被开方数越大算术*方根越大,可得答案.

【解答】解:由被开方数越大算术*方根越大,得 < < ,得
3<a<3.5, 故选:C. 【点评】本题考查了实数与数轴,利用被开方数越大算术*方根越大得出 < < 是解题
关键.

二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)9、的相反数是. 9.2 的相反数是 ﹣2 . 【分析】根据相反数的定义可知. 【解答】解:2 的相反数是﹣2. 故答案为:﹣2 【点评】主要考查相反数的定义:只有符号相反的两个数互为相反数.0 的相反数是其本身.

10.已知分式 的值为 0,那么 x 的值为 2 .

【分析】根据分式值为零的条件可得 x﹣2=0,且 x+1≠0,再解可得答案. 【解答】解:由题意得:x﹣2=0,且 x+1≠0, 解得:x=2, 故答案为:2. 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件,分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于
零.注意:“分母不为零”这个条件不能少.

11.如果实数 a 在数轴上的位置如图所示,那么

+

=1.

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案. 【解答】解:由数轴可得:a﹣2<0,a﹣1>0,



+

=2﹣a+a﹣1=1.

故答案为:1. 【点评】此题主要考查了实数与数轴以及二次根式的性质,正确化简二次根式是解题关键. 12.2017 年 11 月 5 日 19 时 45 分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,以“一箭
双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星.这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星,

是我国北斗三号第一、二 颗组网卫星,开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代. 如图所示,在发射运载火箭时,运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形,这样做的原因是:
三角形具有稳定性 .
【分析】根据三角形具有稳定性解答. 【解答】解:这样做的原因是三角形具有稳定性. 故答案为:三角形具有稳定性. 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,
如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三 角形而获得. 13.如图,Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合, 折痕为 MN,则线段 BN 的长为 4 .
【分析】设 BN=x,则由折叠的性质可得 DN=AN=9﹣x,根据中点的定义可得 BD=3,在 Rt△BND 中,根据勾股定理可得关于 x 的方程,解方程即可求解.
【解答】解:设 BN=x,由折叠的性质可得 DN=AN=9﹣x, ∵D 是 BC 的中点, ∴BD=3, 在 Rt△BND 中,x2+32=(9﹣x)2, 解得 x=4. 故线段 BN 的长为 4. 故答案为:4. 【点评】此题考查了翻折变换(折叠问题),折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,
综合性较强.

14.关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数 a,b 的值:a= 4 ,b= 2 .
【分析】由于关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数根,得到 a=b2,找一组满足 条件的数据即可.
【解答】关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4× a=b2﹣a=0, ∴a=b2, 当 b=2 时,a=4, 故 b=2,a=4 时满足条件. 故答案为:4,2. 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握判别式的意义是解题的关键. 15.学*了等腰三角形的相关内容后,张老师请同学们交流这样一个问题:“如果一个等腰三角
形的两边长分别为 2 和 5,求它的周长”.同学们经过片刻的思考和交流后,小明同学举手讲 “它的周长是 9 或 12”,你认为小明的回答是否正确: 不正确 ,你的理由是 2+2<5,2, 2,5 不构成三角形 . 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 2 和 5,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行 讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形. 【解答】解:当腰为 5 时,周长=5+5+2=12; 当腰长为 2 时,因为 2+2<5, 根据三角形三边关系可知此情况不成立; 根据三角形三边关系可知:等腰三角形的腰长只能为 5,这个三角形的周长是 12. 故答案为:不正确,2+2<5,2,2,5 不构成三角形. 【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识,解题时根据是学会用分类讨 论的思想思考问题,属于中考常考题型. 16.学*了“分式的加法”的相关知识后,小明同学画出了如图:请问他画的图中①为 化为最简 分式 ,②为 通分 .

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案, 【解答】解:由分式的运算法则可知:①化为最简分式;②通分; 故答案为:①化为最简分式;②通分; 【点评】本题考查分式的运算法则,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题
型.
三、解答题(本题共 45 分,每小题 5 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.计算: ﹣ +| ﹣2|. 【分析】原式第一项利用立方根定义化简,第二项化为最简二次根式,最后一项利用绝对值的
代数意义化简,计算即可得到结果. 【解答】解:原式=2﹣2 +2﹣ =4﹣3 . 【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.解方程:x2+4x﹣1=0. 【分析】首先进行移项,得到 x2+4x=1,方程左右两边同时加上 4,则方程左边就是完全*方式,
右边是常数的形式,再利用直接开*方法即可求解. 【解答】解:∵x2+4x﹣1=0 ∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4 ∴(x+2)2=5 ∴x=﹣2±

∴x1=﹣2+ ,x2=﹣2﹣ . 【点评】配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为 1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的*方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为 1,一次项的系数是 2 的倍数.

19.已知 a﹣3b=0,求

?(a+b)的值.

【分析】先化简分式,再变形 a﹣3b=0,代入求出结果.

【解答】解:

?(a+b)

=

?(a+b)

= ∵a﹣3b=0, ∴a=3b 当 a=3b 时, 原式=

=

= 【点评】本题考查了分式的化简求值,解决本题的关键是掌握分式的运算法则.
20.解方程: ﹣ =1. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式
方程的解. 【解答】解:去分母得:x2+x﹣2=x2﹣1, 解得:x=1, 经检验 x=1 是增根,分式方程无解. 【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式
方程求解.解分式方程一定注意要验根. 21.阅读材料,并回答问题: 小明在学*分式运算过程中,计算 ﹣ 的解答过程如下:

解: ﹣ ①

=





=(x﹣2)﹣(x+2)③

=x﹣2﹣x﹣2



=﹣4



问题:(1)上述计算过程中,从 ③ 步开始出现了错误(填序号);

(2)发生错误的原因是: 不能去分母 ;

(3)在下面的空白处,写出正确的解答过程:

【分析】观察小明的运算过程,找出错误的步骤,改正即可.

【解答】解:(1)上述计算过程中,从③步开始出现了错误(填序号);

故答案为:③;

(2)发生错误的原因是:不能去分母;

故答案为:不能去分母;

(3)正确解答过程为:

解: ﹣

=



=

=﹣ . 【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 22.已知:如图,∠BAC=∠DAC.请添加一个条件 AB=AD(或∠B=∠D 或∠ACB=∠ACD) ,
使得△ABC≌△ADC,然后再加以证明.

【分析】若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边,根据全等三角形的 判定定理即可得出结论.
【解答】解:若添加的条件为:AB=AD,则 在△ABC 与△ADC 中,

, ∴△ABC≌△ADC(SAS). 若添加的条件为:∠B=∠D,则 在△ABC 与△ADC 中,
, ∴△ABC≌△ADC(AAS). 若添加的条件为:∠ACB=∠ACD,则
, ∴△ABC≌△ADC(ASA). 故答案为:AB=AD(或∠B=∠D 或∠ACB=∠ACD)(答案不唯一).
【点评】本题考查的是全等三角形的判定,全等三角形的 5 种判定方法中,选用哪一种方法, 取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边.
23.已知:如图,△ABC 是等边三角形,E 是 AC 上一点,D 是 BC 延长线上一点,连接 BE 和 DE, 如果∠ABE=40°,BE=DE.求∠CED 的度数.
【分析】由三角形 ABC 为等边三角形,利用等边三角形的性质得到三个内角为 60°,根据∠ ABE=40°,求出∠EBC 的度数,根据 BE=DE,利用等边对等角得到∠EBC=∠D,求出∠D 的度 数,利用外角性质即可求出∠CED 的度数.
【解答】解:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵∠ABE=40°,

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣40°=20°, ∵BE=DE, ∴∠D=∠EBC=20°, ∴∠CED=∠ACB﹣∠D=40°. 【点评】此题考查了等边三角形的性质,以及外角性质,熟练掌握等边三角形的性质是解本题
的关键. 24.如图,电信部门要在公路 m 和公路 n 之间的区域内修建一座电视信号发射塔 P.按照设计
要求,发射塔 P 到地点 A 和地点 B 的距离相等,到两条公路 m 和公路 n 的距离也相等.
(1)在所给的图中,作出发射塔 P 所处的位置(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)简单说明作图的依据. 【分析】(1)作线段 AB 的垂直*分线,再作直公路 m 和公路 n 的夹角的角*分线,两线的交
点就是 P 点; (2)根据角*分线的性质以及垂直*分线的性质解答即可.
【解答】解:(1)如图所示:
(2)依据:角*分线上的点到角的两边的距离相等;线段的中垂线上的点到线段两个端的距离 相等.

【点评】此题主要考查了应用设计与作图,关键是掌握角*分线的性质和线段垂直*分线的性 质.
25.列方程解应用题: 为了缓解北京市西部地区的交通拥堵现象,市政府决定修建本市的第一条磁浮地铁线路﹣﹣“S1
线”.该线路连接北京城区与门头沟,西起石门营,向东经苹果园,终点至慈寿寺与 6 号线和 10 号线相接.为使该工程提前 4 个月完成,在保证质量的前提下,必须把工作效率提高 10%.问 原计划完成这项工程需用多少个月.
【分析】本题的等量关系是:原计划用的时间=实际用的时间+4 个月.实际的工作效率=原计划 的工作效率×(1+10%),由此可得出方程来求出未知数.
【解答】解:设原计划完成这项工程用 x 个月,则实际完成这项工程用(x﹣4)个月. 根据题意有:(1+10%)× = . 解得:x=44. 经检验:x=44 是原方程的解. 答:原计划完成这项工程用 44 个月. 【点评】本题考查了分式方程的应用,利用分式方程解应用题时,一般题目中会有两个相等关
系,这时要根据题目所要解决的问题,选择其中的一个相等关系作为列方程的依据,而另一 个则用来设未知数.要注意的是当题中没有一些必须的量时,为了简便,应设其为 1.
四、解答题(本题共 23 分,第 26 题 7 分,第 27、28 题,每小题 7 分)解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
26.已知关于 x 的一元二次方程 mx2﹣3(m+1)x+2m+3=0 (1)如果该方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,当该方程的根都是整数,且|x|<4 时,求 m 的整数值. 【分析】(1)由方程根的情况,根据根的判别式可得到关于 m 的不等式,则可求得 m 的取值范
围; (2)令 mx2﹣3(m+1)x+2m+3=0,表示出 x,根据该方程的根都是整数都是整数,根据 x 的范

围即可确定出 m 的整数值. 【解答】解:(1)由题意 m≠0, ∵方程有两个不相等的实数根, ∴△>0,即[﹣3(m+1)]2﹣4m(2m+3)=(m+3)2>0, 解得:m≠﹣3, 则 m 的取值范围为 m≠0 和 m≠﹣3; (2)设 y=0,则 mx2﹣3(m+1)x+2m+3=0. ∵△=(m+3)2,

∴x=



∴x1=

,x2=1,

当 x1= 是整数时,可得 m=1 或 m=﹣1 或 m=3,
∵|x|<4,m=1 不合题意舍去, ∴m 的值为﹣1 或 3. 【点评】此题考查一元二次方程的定义,根的判别式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键. 27.阅读材料: 我们定义:如果一个数的*方等于﹣1,记作 i2=﹣1,那么这个 i 就叫做虚数单位.虚数与我们
学过的实数合在一起叫做复数.一个复数可以表示为 a+bi(a,b 均为实数)的形式,其中 a 叫做它的实部,b 叫做它的虚部. 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似. 例如 计算:(5+i)+(3﹣4i)=(5+3)+(i﹣4i)=8﹣3i. 根据上述材料,解决下列问题: (1)填空:i3= ﹣i ,i4= 1 ; (2)计算:(2+i)2;
(3)将 化为 a+bi(a,b 均为实数)的形式(即化为分母中不含 i 的形式). 【分析】(1)根据 i2=﹣1,则 i3=i2?i,i4=i2?i2,然后计算; (2)根据完全*方公式计算,出现 i2,化简为﹣1 计算; (3)分子分母同乘以(1+i)后,把分母化为不含 i 的数后计算. 【解答】解:(1)∵i2=﹣1, ∴i3=i2?i=﹣1?i=﹣i,i4=i2?i2=﹣1?(﹣1)=1,

故答案为:﹣i,1; (2)(2+i)2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i;

(3) =

=

= =i.

【点评】本题考查了实数的运算,以及完全*方公式的运用,能读懂题意是解此题的关键,解 题步骤为:阅读理解,发现信息;提炼信息,发现规律;运用规律,联想迁移;类比推理, 解答问题.
28.已知:在△ABC 中,∠CAB=90°,AB=AC. (1)如图 1,P,Q 是 BC 边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB 的度数; (2)点 P,Q 是 BC 边上两动点(不与 B,C 重合),点 P 在点 Q 左侧,且 AP=AQ,点 Q 关于直
线 AC 的对称点为 M,连接 AM,PM. ①依题意将图 2 补全; ②小明通过观察和实验,提出猜想:在点 P,Q 运动的过程中,始终有 PM= PA.他把这个猜
想与同学们进行交流,通过讨论,形成以下证明猜想的思路: (Ⅰ)要想证明 PM= PA,只需证△APM 为等腰直角三角形; (Ⅱ)要想证明△APM 为等腰直角三角形,只需证∠PAM=90°,PA=AM; … 请参考上面的思路,帮助小明证明 PM= PA.

【分析】(1)首先证明∠BAP=∠CAQ,再根据三角形的外角的性质计算即可; (2)①根据要求画出图形即可; ②只要证明 AP=AM,∠PAM=90°即可解决问题; 【解答】(1)解:如图 1 中,

∵AB=AC,∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° ∵AP=AQ, ∴∠APQ=∠AQC, ∵∠APQ=∠B+∠BAP,∠AQP=∠C+∠CAQ, ∴∠BAP=∠CAQ=20°, ∴∠AQB=45°+20°=65°.
(2)①解:如图 2 中所示:
②证明:∵Q、M 关于 AC 对称, ∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC, ∵∠BAP=∠CAQ, ∴∠BAP=∠CAM, ∴∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC, 即∠PAM=∠BAC=90°, ∵AP=AQ, ∴AP=AM, ∴△PAM 是等腰直角三角形, ∴PM= AP.

【点评】本题考查几何变换、等腰直角三角形的性质、三角形的外角的性质、轴对称变换等知 识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.


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